Tellen tot π

Reeds eerder bracht ik op deze blog het getal pi (π) ter sprake. Een bijzonder getal, dat op veel verschillende manieren een rol speelt in de wiskunde. We definiëren π als de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter. Dat verhoudingsgetal is in elke cirkel in het platte vlak hetzelfde. We gebruiken voor π de waarde 3,14 of 22/7. Benaderingen waar we in de dagelijkse praktijk goed mee uit de voeten kunnen.

Maar hoe kun je nou uitrekenen wat de waarde van π is?

In de loop der eeuwen zijn daarvoor al heel veel methodes gevonden. Bijna allemaal algebraïsche methodes, die dus inderdaad neerkomen op rekenen. Bijna allemaal. Onlangs trof ik bij toeval een totaal andere methode aan, een statistische. Bij deze methode hoef je niet te rekenen, maar eigenlijk alleen maar te tellen.

De methode is gebaseerd op het theorema van mathematische waarschijnlijkheid, geformuleerd door de achttiende eeuwse bioloog Buffon en vandaag de dag beter bekend onder de naam de "wet van de grote aantallen".

We stellen ons een horizontaal vlak voor waarop een stel evenwijdige lijnen is getrokken met gelijke onderlinge afstand, bijvoorbeeld de naden tussen de planken van een houten vloer. Zij de afstand tussen de lijnen a. Een naald met lengte l wordt op willekeurige wijze op het vlak geworpen en je telt het aantal malen dat de naald op één van de evenwijdige lijnen ligt. Buffon's theorema beweert dat wanneer de lengte van de naald niet groter is dan de afstand tussen de lijnen, de waarschijnlijkheid dat de naald een lijn kruist gelijk is aan 2l/aπ. Om het experiment te vereenvoudigen kiezen we een naald met een lengte die overeenkomt met de afstand tussen de naden. Daardoor wordt de waarschijnlijkheid 2/π. Alles wat we moeten doen is de naald op willekeurige wijze N maal laten vallen en het aantal keren tellen dat de naald een lijn kruist. Als dat aantal gelijk is aan N', dan nadert de verhouding N' / N tot 2/π, wanneer N nadert tot oneindig.

In 1901 voerde de Italiaan Lazzerini dit experiment uit. Hij liet 3.407 keer een naald vallen en verkreeg voor π de waarde 3,1415929, hetgeen een fout van minder dan 0,0000003% betekent. Het is niet bekend op welke wijze Lazzerini erin slaagde om de naald echt willekeurig te laten vallen.